Eugenio Calabi, el matemático cautivado por la belleza del espacio | Café y teoremas | Ciencia

Eugenio Calabi, matemático estadounidense y profesor emérito en la Universidad de Pensilvania, especializado en la geometría diferencial.
Eugenio Calabi, matemático estadounidense y profesor emérito en la Universidad de Pensilvania, especializado en la geometría diferencial.Konrad Jacobs, Erlangen

El matemático italiano Eugenio Calabi falleció el pasado 25 de septiembre de 2023 a la edad de 100 años en Beaumont, Bryn Mawr (EE UU). Este año se habían sucedido numerosos homenajes a lo largo y ancho del mundo, para celebrar su imponente legado e importantes contribuciones a la geometría. Es inusual que el centenario de un importante matemático, con más de 70 años de herencia científica, y tres generaciones de descendientes, se celebre ante la mirada atenta del mismo –así sucedió en uno de los congresos, celebrado en Hefei (China)–.

Nacido en Milán (Italia) en mayo de 1923, Calabi se mudó a los Estados Unidos junto con su familia a una edad temprana. Curso sus estudios en el Massachusetts Institute of Technology, financiado con una prestigiosa beca Putnam, que también recibieron otros como Richard P. Feynman, Premio Nobel de Física, y John Milnor, Medalla Fields. En 1950 leyó su tesis en la Universidad de Princeton sobre propiedades de ciertos espacios geométricos conocidos como variedades de Kähler. Tras trabajar como profesor en la Universidad de Minnesota, en 1964 Calabi se incorporó a la Universidad de Pensilvania. Pocos años más tarde, obtuvo la prestigiosa cátedra Thomas A. Scott Professor of Mathematics, que ocupó hasta su jubilación en 1994, cuando se convirtió en profesor emérito en la misma institución.

Su trabajo ha dejado una profunda huella en la geometría moderna. Su obsesión era dotar al espacio desnudo de una forma “preferida”, como el que moldea una pieza de arcilla con sus manos en busca de una figura oculta, nunca antes imaginada. Por ejemplo, al posar una cuerda atada por sus extremos sobre una superficie plana, ¿cuál es la forma preferida que puede adoptar? La respuesta de muchos será una circunferencia, porque es “igual por todas partes” o, tal vez, porque es “la figura más perfecta”. Un matemático podría añadir que esta percepción tiene que ver con una propiedad variacional de dicha curva: es la que maximiza el área total que encierra en su interior.

Un método matemático para encontrar estas curvas preferidas en el plano –denominado flujo de curvatura media– es el siguiente: se parte de una curva cualesquiera (que no se corte a sí misma) y se la hace “evolucionar” de manera que pierde área a velocidad constante y su perímetro decrece lo más rápidamente posible. Con el tiempo la curva será convexa, y tenderá a un círculo de radio cada vez más pequeño hasta colapsar en un punto. Momentos antes de este colapso, se observa a simple vista la forma preferida de la curva a una escala muy pequeña.

Si la curva inicial se cortase a sí misma, puede desarrollar una singularidad o “pico” a lo largo de su evolución y esto cambia la forma preferida de la curva. Al situarse en el lugar de la singularidad justo antes de que se forme, se observa, mediante un cambio de escala, la evolución “autosimilar” de una curva que proviene de un pasado infinito: una curva que no varía su forma mientras evoluciona con el tiempo. En este caso, además, la curva se mueve por traslaciones, es decir, todos sus puntos se desplazan a velocidad constante en una dirección fija. Eugenio Calabi descubrió esta solución al flujo de curvatura media en los años 1980 y la bautizo como La Parca (the Grim Reaper).

Toda curva cerrada que se encuentre en el interior de La Parca (marcada en azul en la imagen), descubierta por Calabi, colapsará a un punto y desaparecerá antes de que esta lo alcance.
Toda curva cerrada que se encuentre en el interior de La Parca (marcada en azul en la imagen), descubierta por Calabi, colapsará a un punto y desaparecerá antes de que esta lo alcance.Mario García Fernández

Parece que Calabi hizo este descubrimiento en una pausa para tomar el té, en medio de una conversación, rodeado de sus colegas. La Parca resulta ser la única solución definida desde un tiempo pasado infinito del flujo de curvatura media que evoluciona por traslaciones: una propiedad esencial que tan solo sería entendida muchos años más tarde. Esta es posiblemente una de las características más singulares de Calabi: su influencia en el trabajo de sus colegas se producía muchas veces a través de largas conversaciones informales o c, con observaciones agudas y ejemplos clave, que más tarde se convertirían en piezas fundamentales de futuras teorías matemáticas. En palabras de Edoardo Vesentini (investigador de la Scuola Normale Superiore di Pisa): “en las teorías más intimidatorias y en aquellos teoremas que más me atormentaban, llegaban las sencillas explicaciones de Calabi”.

En su caso, estas explicaciones parecían provenir de una intuición o gusto estético. Según explicaba el propio Calabi en una visita a España en septiembre del año 2000: “La fuente principal de la intuición geométrica está, en última instancia, ligada a nuestras percepciones sensoriales del mundo. Por supuesto, a medida que llegamos a áreas más abstractas, uno tiene que interpretar lo que significa experiencia sensorial. Yo he tratado de hacer esto lo más visible posible para transmitir esta idea.”

El placer del descubrimiento puro y la belleza de la geometría eran, de hecho, dos motores de las matemáticas de Calabi. Sin embargo, su trabajo ha resultado tener importantes implicaciones en otros campos aplicados, como la física teórica. Tal y como describía el propio Calabi, los matemáticos “inventan mundos imaginarios, y los científicos deciden mucho más tarde si estos pueden albergar genuinas teorías científicas”. Uno de estos mundos imaginado por Calabi nació de estudiar la forma preferida de una clase importante de espacios geométricos conocidos como variedades complejas. Estos objetos se hacen rígidos al dotarlos con una noción de distancia (llamada métrica de Kähler). La forma preferida de este espacio viene dada por elegir, de entre todas las posibles métricas, la que hace que el espacio se curve de forma más homogénea. Un caso particular de este problema se conoce como el problema de Calabi. Durante más de 20 años, grandes matemáticos trataron de abordarlo, llegando a soluciones contradictorias. Por fin, en 1978, Shing-Tung Yau lo resolvió, dando lugar a los espacios popularmente conocidos como variedades Calabi-Yau. Por este importante logro, la comunidad matemática internacional distinguió al matemático chino con la Medalla Fields en 1982. A día de hoy, el problema general inicialmente puesto por Calabi continúa abierto y ha tenido una gran repercusión en el desarrollo de la geometría compleja del siglo XX y principios del XXI. Gran parte de la actividad se ha centrado durante años en el estudio de las geometrías conocidas como Kähler-Einstein, del cual las variedades Calabi-Yau son un caso particular.

El criterio de Calabi para encontrar la forma preferida del espacio resultó, años después, tener una profunda relación con las ecuaciones de campo de la relatividad general introducidas por Albert Einstein. En estas ecuaciones, la distribución de materia y energía en el espacio determina la curvatura del mismo. En ausencia de materia, o cuando fijamos una distribución homogénea de la misma, el espacio adopta la forma preferida imaginada por Eugenio Calabi. Sorprendentemente, lejos de ser una mera analogía, los espacios de Calabi-Yau, con sus bellas formas geométricas, juegan un papel clave en algunas teorías físicas modernas que abordan el problema de la gravedad cuántica, como la conocida teoría de supercuerdas.

Mario García Fernández es investigador Ramón y Cajal en la Universidad Autónoma de Madrid y miembro del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT).

Óscar García-Prada es profesor de investigación del Consejo Superior de Investigaciones Científicas y miembro del ICMAT.

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

Edición y coordinación: Ágata A. Timón G Longoria (ICMAT).

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